Question

3．如图，在四边形ABCD中，AB=10，BC=17，CD=13，DA=20，AC=21．则BD=（　　）

• A． $10\sqrt{3}$
• B． $10\sqrt{5}$
• C． $10\sqrt{6}$
• D． $10\sqrt{7}$

Answer 1

分析 作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，则∠BMO=∠DNO=90°，BM∥DN，设AM=x，则CM=AC-AM=21-x，由勾股定理得出方程，解方程求出AM=6，由勾股定理求出得出BM=8，同理：CN=5，DN=12，求出MN=AC-AM-CN=10，由平行线证出△BOM∽△DON，得出OM：ON=BM：DN=2：3，求出OM=4，ON=6，再由勾股定理求出OB和OD，即可得出BD的长．

解答 解：作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，如图所示：
则∠BMO=∠DNO=90°，BM∥DN，
设AM=x，则CM=AC-AM=21-x，
由勾股定理得：BM²=AB²-AM²，BM²=BC²-CM²，
∴AB²-AM²=BC²-CM²，
即10²-x²=17²-（21-x）²，
解得：x=6，
∴AM=6，
∴BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
同理：CN=5，DN=12，
∴MN=AC-AM-CN=21-6-5=10，
∵BM∥DN，
∴△BOM∽△DON，
∴OM：ON=BM：DN=8：12=2：3，
∵MN=10，
∴OM=4，ON=6，
由勾股定理得：OB=$\sqrt{B{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，OD=$\sqrt{D{N}^{2}+O{N}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴BD=OB+OD=10$\sqrt{5}$；
故选：B．

点评 本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程求出BM、DN是解决问题的关键．