Question

已知，如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交三角形的外接圆于点D，连接BD、DC．求：DB=DC=DE．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：点E为△ABC的内心，易证DB=DC，连接BE，证∠BED=∠DBE即可；∠DBE=∠4+∠5，∠BED=∠2+∠3；观察上述两个式子：E是△ABC的内心，则∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BED=∠DBE，由此得证．

解答：证明：连接BE．
∵E是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4；
∴DB=DC．
∵∠BED=∠3+∠2，∠EBD=∠4+∠5，且∠5=∠1，
∴∠BED=∠EBD；
∴DE=BD；
∴BD=ED=CD．

点评：本题考查了三角形内心的性质、圆周角定理及等角对等边，题目的综合性较强，难度中等．