Question

1．如图①，已知A（0，a），B（b，0），P（c，0）为坐标轴正半轴上三点，且满足$\sqrt{a-2}$+$\sqrt{b-2}$+（a-$\sqrt{2}$c）²=0
（1）判断△AOB的形状，并求$\frac{BP}{OP}$的值；
（2）过A作AQ⊥AP，且AQ=AP，点Q在第二象限，连接BQ交y轴于M点，请在图②作出图形，并求$\frac{OM}{OP}$的值；
（3）如图③，过P作AP⊥BF，连按BF，若∠OAP+∠F=45°，求$\frac{AP}{PF}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用非负性求出a，b，c的值，即可OA，OB，OP，PB即可得出结论；
（2）先利用同角的余角相等得出∠AQE=∠PAO，进而判断出△AQE≌△PAO，即可判断出AE=OP，QE=OA=OB，继而判断出△MEQ≌△MOB，即可得出OM=$\frac{1}{2}$OE，即可得出结论；
（3）作出辅助线得出∠PAE+∠APE=45°，进而判断出∠APE=∠F，再用同角的余角相等判断出∠PAO=∠FPB，进而得出，△APE≌△PFB，得出AP=PF，即可得出结论．

解答 解：（1）△AOB是等腰直角三角形，
理由：∵$\sqrt{a-2}$+$\sqrt{b-2}$+（a-$\sqrt{2}$c）²=0，
∴a-2=0，b-2=0，a-$\sqrt{2}$c=0，
∴a=2，b=2，c=$\sqrt{2}$，
∴A（0，2），B（2，0），P（$\sqrt{2}$，0），
∴OA=2，OB=2，OP=$\sqrt{2}$，
∴OA=OB，BP=OB-OP=2-$\sqrt{2}$，
在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵BP=2-$\sqrt{2}$，OP=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BP}{OP}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1；
（2）如图②，过点Q作QE⊥OA于E，
∴∠AQE+∠QAE=90°，
∵AQ⊥AP，
∴∠PAQ=90°，
∴∠QAE+∠PAO=90°，
∴∠AQE=∠PAO，
在△AQE和△PAO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEQ=∠POA=90°}\\{∠AQE=∠PAO}\\{AQ=AP}\end{array}\right.$，
∴△AQE≌△PAO（AAS），
∴QE=OA=OB=2，AE=OP=$\sqrt{2}$，
∴OE=OA-AE=2-$\sqrt{2}$，
在△MEQ和△MOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMQ=∠OMB（对顶角相等）}\\{∠MEQ=∠MOP=90°}\\{QE=OB}\end{array}\right.$，
∴△MEQ≌△MOB（AAS），
∴ME=OM=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$-1，
∵OP=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OM}{OP}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$；
（3）如图③，在OA上取一点E，使OE=OP，
∵OA=OB，∴AE=PB，∵∠POE=90°，
∴∠OEP=45°，
∴∠OAP+∠APE=45°，
∵∠OAP+∠F=45°，
∴∠APE=∠F，
∵AP⊥BF，
∴∠APO+∠FPB=90°，
∵∠APO+∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠FPB，
在△APE和△PFB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠F}\\{∠PAE=∠FPB}\\{AE=PB}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△PFB（AAS），
∴AP=PF，
∴$\frac{AP}{PF}$=1．

点评 此题三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，解（1）的关键是求出a，b，c，解（2）的关键是作出辅助线求出QE=OB=2，OE=2-$\sqrt{2}$，解（3）的关键是作出辅助线判断出∠APE=∠F，是一道中等难度的中考常考题．