Question

18．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△ACE≌△ACF；
（2）若AB=21，AD=9，AC=17，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义及所给条件利用AAS可证明△ACE≌△ACF；
（2）结合（1）中的全等可证明Rt△CDF≌Rt△CEB，可得DF=BE，再由AE-AF，可证得DF=BE，利用线段和差可求得BE、AE，在Rt△BCE中可求得CE，则可求得CF．

解答 （1）证明：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠BAC=∠CAD，∠AFC=∠AEC=90°，
在△ACE和△ACF 中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠CAD}\\{∠AFC=∠AEC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ACF （AAS）；
（2）解：
由（1）知：∠AFC=∠AEC=90°，△ACE≌△ACF，
∴∠AFC=∠BEC=90°，CE=CF，AF=AE，
又在Rt△CDF和Rt△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{CF=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△CDF≌Rt△CEB（HL），
∴DF=EB，
∴AD+DF=AF=AE=AB-EB，
∵AB=21，AD=9，
∴9+DF=21-EB，
∴EB=DF=6，AE=15，
在Rt△ACE中，根据勾股定理可求得CE=8，
∴CF=8．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．