题目内容
如图，直角梯形ABCD置于平面直角坐标系中，BC与x轴重合，点A在y轴上，
且AD∥BC，AD=CD，若sin∠ABO=
，梯形ABCD的面积为60．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P从点A出发，沿AB向终点B运动，运动速度为每秒3个单位长度，过点P作AB的垂线交x轴于点E交y轴于点F，设点P的运动时间为t秒，线段EF长为y，求y与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接DE、DF，当cos∠EDF=
时，求t的值．
且AD∥BC，AD=CD，若sin∠ABO=| 3 |
| 5 |
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P从点A出发，沿AB向终点B运动，运动速度为每秒3个单位长度，过点P作AB的垂线交x轴于点E交y轴于点F，设点P的运动时间为t秒，线段EF长为y，求y与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接DE、DF，当cos∠EDF=
| ||
| 2 |
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）易证四边形ADCO为正方形，然后由正弦三角函数的定义、勾股定理求得线段OB与OA的数量关系，最后由梯形的面积公式求得OA、OB的长度．由待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）由（1）中OA、OB的长度，利用勾股定理求得AB=10；然后利用三角函数的定义求得AF=5t、PF=4t；最后根据对顶角相等、余弦三角函数的定义求得y与t的函数关系式．定义域由y所表示的实际意义来确定；
（3）易证得∠EDF=45°．又因为∠ADF+∠CDE=45°，所以AF+CE=EF．
（2）由（1）中OA、OB的长度，利用勾股定理求得AB=10；然后利用三角函数的定义求得AF=5t、PF=4t；最后根据对顶角相等、余弦三角函数的定义求得y与t的函数关系式．定义域由y所表示的实际意义来确定；
（3）易证得∠EDF=45°．又因为∠ADF+∠CDE=45°，所以AF+CE=EF．
解答：
解：（1）∵梯形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四边形ADCO为正方形，
∴AD=OA=OC．
又∵sin∠ABO=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴OA=
OB，
∴S梯形ABCD=
（AD+OB+OC）•OA=
×
OB×
OB=60，
∴OB=8，
∴OA=6，
∴A（0，6），B（-8，0）．
设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），则
，
解得
，
故直线AB的解析式为：y=
x+6；
（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB=
=10．
∵PE⊥AB，
∴cos∠PAF=
=
，即
=
，
解得，AF=5t．
∴根据勾股定理求得PF=4t．
∴cos∠OFE=cos∠PFA，即
=
，
∴
=
，
∴y=-
t+
（0≤t＜
）；
（3）∵
=
，
∴
=
，即OE=
（6-5t），
∴CE=OC-OE=6-
（6-5t）=
+
t．
∵cos∠EDF=
，cos∠EDF是锐角，
∴cos∠EDF=45°．
∵∠ADF+∠CDE=45°，
∴点A关于直线DE的对称点与点C关于直线DE的对称点重合，即图中的点G，
∴AF+CE=FG+CG=EF，即AF+CE=EF．
∴5t+
+
t=-
t+
，
解得t=
．
解：（1）∵梯形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，∴四边形ADCO为正方形，
∴AD=OA=OC．
又∵sin∠ABO=
| 3 |
| 5 |
∴
| OA |
| AB |
| 3 |
| 5 |
∴
| OA |
| OB |
| 3 |
| 4 |
∴OA=
| 3 |
| 4 |
∴S梯形ABCD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴OB=8，
∴OA=6，
∴A（0，6），B（-8，0）．
设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），则
|
解得
|
故直线AB的解析式为：y=
| 3 |
| 4 |
（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB=
| OA2+OB2 |
∵PE⊥AB，
∴cos∠PAF=
| AP |
| AF |
| OA |
| AB |
| 3t |
| AF |
| 6 |
| 10 |
解得，AF=5t．
∴根据勾股定理求得PF=4t．
∴cos∠OFE=cos∠PFA，即
| OF |
| EF |
| PF |
| AF |
∴
| 6-5t |
| y |
| 4t |
| 5t |
∴y=-
| 25 |
| 4 |
| 15 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
（3）∵
| OE |
| OF |
| AP |
| PF |
∴
| OE |
| 6-5t |
| 3t |
| 4t |
| 3 |
| 4 |
∴CE=OC-OE=6-
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
∵cos∠EDF=
| ||
| 2 |
∴cos∠EDF=45°．
∵∠ADF+∠CDE=45°，
∴点A关于直线DE的对称点与点C关于直线DE的对称点重合，即图中的点G，
∴AF+CE=FG+CG=EF，即AF+CE=EF．
∴5t+
| 3 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
| 15 |
| 2 |
解得t=
| 2 |
| 5 |
点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有勾股定理、解直角三角形、待定系数法求一次函数的解析式、梯形的面积公式等．
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|
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| π |
| 2 |
| 3 |
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