题目内容
点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点．如图所示，若以BD、BE为边分别作正△BMD和正△BEN，连接MF、FN、MN． 易证△FMN是等边三角形，因而∠MFN=60°；若以BD、BE为边分别作正方形BPMD和正方形BQNE，连接MF、NF、MN，则∠MFN的度数是90°
90°
；若以BD、BE为边分别作正n边形，设两个正n边形与点D、E相邻的顶点分别是M、N（点M、N与点B是不同的点），连接MF、NF、MN得到△FMN，则∠MFN的度数是180°-
| 360° |
| n |
180°-
．| 360° |
| n |
分析：连接DF、EF，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形BDEF是平行四边形，就可以得出△MDF≌△FEN，就有FN=FM，∠DMF=∠EFN，利用角的关系就可以得出∠MFN=90°，根据以BD、BE为边分别作正三边形和四边形的结论可以得出
以BD、BE为边分别作正n边形的结论．
以BD、BE为边分别作正n边形的结论．
解答：解：①如图，连接DF、EF，
∵D、E、F是△ABC各边的中点，
∴DF、EF是△ABC的中位线，AD=BD=
AB，BE=CE=
BC，
∴DF∥BC，EF∥AB，DF=
BC，EF=
AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴∠BDF=∠FEB，EF=BD，DF=BE，∠2+∠MFE=180°．
∵四边形BPMD和四边形BQNE是正方形，
∴DM=DB，BE=EN，∠MDB=∠BEN=90°．
∴∠MDB+∠BDF=∠BEN+∠BEF，
∴∠MDF=∠FEN．
在△MDF和△FEN中，
，
∴△MDF≌△FEN，
∴∠DMF=∠EFN．MF=NF．
∵∠1+∠DMF=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠EFN=90°，
∴∠MFN=90°．
②∵当以BD、BE为边分别作正三角形时，∠MFE=60°=180°-
，
当以BD、BE为边分别作正四边形时，∠MFE=90°=180°-
，
∴当以BD、BE为边分别作正n边形时，∠MFE=180°-
．
故答案为：90°，180°-
．
∵D、E、F是△ABC各边的中点，
∴DF、EF是△ABC的中位线，AD=BD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴DF∥BC，EF∥AB，DF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴∠BDF=∠FEB，EF=BD，DF=BE，∠2+∠MFE=180°．
∵四边形BPMD和四边形BQNE是正方形，
∴DM=DB，BE=EN，∠MDB=∠BEN=90°．
∴∠MDB+∠BDF=∠BEN+∠BEF，
∴∠MDF=∠FEN．
在△MDF和△FEN中，
|
∴△MDF≌△FEN，
∴∠DMF=∠EFN．MF=NF．
∵∠1+∠DMF=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠EFN=90°，
∴∠MFN=90°．
②∵当以BD、BE为边分别作正三角形时，∠MFE=60°=180°-
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当以BD、BE为边分别作正四边形时，∠MFE=90°=180°-
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∴当以BD、BE为边分别作正n边形时，∠MFE=180°-
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故答案为：90°，180°-
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| n |
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，解答本题时证明三角形全等是关键．
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