我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列.其中“杨辉三角就是一例．如图.这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1.其余每个数均为其上方左右两数之和.它给出了(a+b)n的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如.在三角形中第三行的三个数1.2.1.恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数,第四行的四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

1．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，写出（a+b）⁵的展开式．
（2）利用上面的规律计算：2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1．

分析（1）直接根据图示规律写出图中的数字，再写出（a+b）⁵的展开式；
（2）发现这一组式子中是2与-1的和的5次幂，由（1）中的结论得：2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1=（2-1）⁵，计算出结果．

解答解：（1）如图，
则（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；
（2）2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1．
=2⁵+5×2⁴×（-1）+10×2³×（-1）²+10×2²×（-1）³+5×2×（-1）⁴+（-1）⁵．
=（2-1）⁵，
=1．

点评本题考查了完全式的n次方，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）ⁿ中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．

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