Question

如图，AB，AC是内接于⊙O的两条弦，M、N分别为，的中点，MN分别交AB，AC于E，F．判断三角形AEF的形状并给予证明．

Answer 1

解：△AEF是等腰三角形．
证明：连接OM，ON，分别交AB与AC于点P，Q，
∵M、N分别为，的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠MPE=∠NQF=90°，
∴∠PEM=90°-∠M，∠QFN=90°-∠N，
∵OM=ON，
∴∠M=∠N，
∴∠PEM=∠QFN，
∵∠AEF=∠PEM，∠AFE=∠NFQ，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
即△AEF是等腰三角形．
分析：首先连接OM，ON，分别交AB与AC于点P，Q，由M、N分别为，的中点，根据垂径定理的即可求得OM⊥AB，ON⊥BC，由等腰三角形的性质，可得∠M=∠N，继而可证得∠AEF=∠AFE，则可证得△AEF是等腰三角形．
点评：此题考查了垂径定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．