Question

11．已知：如图所示四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O直径，若∠DAC=60°，BC=$\frac{7}{3}$$\sqrt{3}$，AD=5，求AC的长．

Answer 1

分析 根据圆周角定理及其推论可得∠BCD=90°、∠DAC=∠CBD=60°，从而在Rt△BCD中得出CD的长，作DE⊥AC，在Rt△ADE中，由AD=5、∠DAC=60°可得AE、DE的长，在Rt△CDE中由勾股定理可得CE的长，继而可得答案．

解答 解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
又∵∠DAC=∠CBD=60°，BC=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=BCtan∠CBD=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=7，
如图，过点D作DE⊥AC于点E，

在Rt△ADE中，AE=AD•cos∠DAC=5×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
DE=AD•sin∠DAC=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△CDE中，CE=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{11}{2}$，
∴AC=AE+CE=$\frac{5}{2}$+$\frac{11}{2}$=8．

点评 本题主要考查圆周角定理、解直角三角形等知识点，根据圆周角定理得出Rt△BCD中∠CBD=60°并且求出CD的长是解题的关键．