Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC中点，DE⊥AB于E，若AE=2$\sqrt{5}$，BC=5，则BE=3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设BE=a，由边与边之间的关系结合勾股定理即可得出AB、AC和AD的值，根据垂直的定义即可得出∠AED=∠C结合相等的公共角∠A=∠A，即可证出△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，代入数据即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：设BE=a，则AB=2$\sqrt{5}$+a，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+4\sqrt{5}a-5}$，
∵D是AC中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+4\sqrt{5}a-5}$．
∵DE⊥AB于E，∠C=90°，
∴∠AED=∠C．
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AE•AB=AD•AC，即2$\sqrt{5}$（2$\sqrt{5}$+a）=$\frac{1}{2}$（a²+4$\sqrt{5}$a-5），
解得：a=3$\sqrt{5}$或a=-3$\sqrt{5}$（舍去）．
故答案为：3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及解一元二次方程，根据相似三角形的判定定理证出△AED∽△ACB是解题的关键．