Question

市场上销售的水果礼盒的底盒（如照片2所示），是用一种边长分别为50cm和150cm的矩形纸板按如图1中的裁法做成的无盖纸盒，每张纸板裁出如图2的两只纸盒（接缝忽略不计）．要求纸盒的高不超过宽的

1

3

，但不能小于5cm．


（1）若要使宽为30cm，则高应为多少？
（2）要使盒子的体积为10000cm³，求此时盒子的高；
（3）为了使盒子的体积尽可能的大，应如何设计裁法？

Answer 1

分析：（1）设高为xcm，则宽为（50-2x）cm，求出x的取值范围，然后求出高，
（2）根据长方体的体积公式求出x，
（3）写出V与x的函数关系式，求出最大值时的x．

解答：解：设高为xcm，则宽为（50-2x）cm，
则长为

1

2

[150-(50-2x)-2x]=50cm（1分）
∵x≤

1

3

(50-2x)．
即x≤10，
又∵x≥5
∴5≤x≤10（2分）
（1）50-2x=30，∴x=10，即高为10cm（3分）

（2）（50-2x）•x•50=10000（4分）
整理，得x²-25x+100=0．（5分）
解得：x₁=5，x₂=20（不合题意，舍去）
要使体积为10000cm³，应高为5cm；（6分）

（3）V=（50-2x）•x•50
=-100x²+2500x
=-100(x-

25

2

)2+156257．（5分）
∵5≤x≤10
∴当x=10时V_最大=15000cm³
∴要使体积尽可能大，应取高为10cm，宽为30cm，长为50cm．（9分）

点评：本题主要考查二次函数的应用，写出V与x的函数关系式是答题的关键，应用二次函数解决实际问题比较简单．