Question

8．已知反比例函数y=$\frac{-{k}^{2}-1}{x}$（k为常数）．
（1）若点P₁（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，y₁）和点P₂（-$\frac{1}{2}$，y₂）是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较y₁和y₂的大小；
（2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M．若tan∠POM=2，PO=$\sqrt{5}$（O为坐标原点），求k的值，并直接写出不等式kx+$\frac{{k}^{2}+1}{x}$＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据P₁、P₂两点的横坐标判断出两点所在的象限，故可得出结论．
（2）根据题意求得-n=2m，根据勾股定理求得m=1，n=-2，得到P（1，-2），即可得到-k²-1=-2，即可求得k的值，然后分两种情况借助反比例函数和正比例函数图象即可求得．

解答 解：（1）∵-k²-1＜0，
∴反比例函数y=$\frac{-{k}^{2}-1}{x}$在每一个象限內y随x的增大而增大，
∵-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$＜0，
∴y₁＞y₂；
（2）点P（m，n）在反比例函数y=$\frac{-{k}^{2}-1}{x}$的图象上，m＞0，
∴n＜0，
∴OM=m，PM=-n，
∵tan∠POM=2，
∴$\frac{PM}{OM}$=$\frac{-n}{m}$=2，
∴-n=2m，
∵PO=$\sqrt{5}$，
∴m²+（-n）²=5，
∴m=1，n=-2，
∴P（1，-2），
∴-k²-1=-2，
解得k=±1，
①当k=-1时，则不等式kx+$\frac{{k}^{2}+1}{x}$＞0的解集为：x＜-$\sqrt{2}$或0＜x＜$\sqrt{2}$；
②当k=1时，则不等式kx+$\frac{{k}^{2}+1}{x}$＞0的解集为：x＞0．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式；也考查了反比例函数和一次函数的交点．