题目内容

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
=
 
．
分析：首先根据
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，将原始变形为1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2009
-
1
2010
，然后利用分式的加减运算，即可求得结果．
解答：解：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2009
-
1
2010
=1-
1
2010
=
2009
2010
．
故答案为：
2009
2010
．
点评：此题考查了分式的加减运算的应用．此题难度适中，注意掌握规律
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
的应用．
练习册系列答案
相关题目
先阅读，再解题：
因为1-
1
2
=
1
1×2
，
1
2
-
1
3
=
1
2×3
，
1
3
-
1
4
=
1
3×4
，…
所以
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
49×50
=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
49
-
1
50
)=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
49
-
1
50
=1-
1
50
=
49
50

参照上述解法计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
49×51
．
10、2003年在法国巴黎举行的第47届世界乒乓球单项锦标赛中，我国运动员顽强拼搏取得了4金4银的好成绩．在比赛中，我国一年轻运动员在先输三局的情况下，连扳4局，反败为胜，终以4：3淘汰一外国名将，这7局球的比分依次是6：11，10：12，7：11，11：8，13：11，12：10，11：6．我国这位运动员7局球每局得分组成的数据（6，10，7，11，13，12，11）的众数，中位数，平均数分别是
11，11，10
．
a是不为1的有理数，我们把
1
1-a
称为a的差倒数，如：2的差倒数是
1
1-2
=-1，-1的差倒数是
1
1-(-1)
=
1
2
．已知a1=-
1
3
，a2是a1的差倒数，a4是a3的差的倒数，…，以此类推，a2012的差倒数a2013=
4
4
．
观察：
1
1×2
+
1
2×3
=（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）=1-
1
3
=
2
3

计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2007×2008
．
观察下列各等式，并解答问题：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；…，以此类推，可得：
（1）
1
5×6
=___；
（2）
1
n(n+1)
=_____（n是正整数）
（3）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
．

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