四边形ABCD为正方形.(1)如图1.点E.点F分别在边AB和AD上.且AE=AF．此时.线段BE.DF的数量关系是BE=DF.位置关系是BE⊥DF．请直接写出结论．(2)如图2.等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α.当0°＜α＜90°时.连接BE.DF.此时(1)中的结论是否成立.如果成立.请证明,如果不成立.请说明理由．(3)如图3.等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．四边形ABCD为正方形，
（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系是BE=DF，位置关系是BE⊥DF．请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，若正方形的边长为1，猜想当AE=AE=（$\sqrt{2}$-1）AD时，直线DF垂直平分BE．请写出计算过程．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论：正方形．

分析（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；
（2）根据旋转角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，延长DF交BE于O，求出∠ABE+∠BGO=90°，从而得到∠BOD=90°，根据垂直的定义得到BE⊥DF；
（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=$\sqrt{2}$AD，解答出即可；
（4）如图4，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状

解答解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，
∵AE=AF，
∴AB-AE=AD-AF，
即BE=DF，
∵∠A=90°，
∴BE⊥DF，
故答案为BE=DF，BE⊥DF；
（2）成立；
理由：如图②，

∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
延长DF交BE于O，
∵∠ADF+∠AGF=90°，∠AGF=∠BGO（对顶角相等），
∴∠ABE+∠BGO=90°，
∴∠BOD=180°-90°=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；
（3）如图③，

连接BD，
∵直线DF垂直平分BE，
∴AD+AE=BD，BD=$\sqrt{2}$AD，
∴AE=（$\sqrt{2}$-1）AD；
故答案为AE=（$\sqrt{2}$-1）AD．
（4）如图④，

连接BE、DF，
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
设DF交BE于点P，
∵∠ADY+∠DYA=90°，∠DYA=∠BYP（对顶角相等），
∴∠ABE+∠BYP=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；
∴顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形．
故答案为正方形．