Question

10．已知：如图1，点A在半圆O上运动（不与半圆的两个端点重合），以AC为对角线作矩形ABCD，使点D落在直径CE上，CE=8．将△ADC沿AC折叠，得到△AD'C．

（1）求证：AD'是半圆O的切线；
（2）如图2，当AB与CD'的交点F恰好在半圆O上时，连接OA．
①求证：四边形AOCF是菱形；
②求四边形AOCF的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由折叠的性质得出∠1=∠2，由矩形的性质和等腰三角形的性质得出∠1+∠2+∠3=90°，即∠OAD′=90°，即可得出结论；
（2）①由折叠的性质得出∠1=∠2，∠D′=∠ADC=90°，由矩形的性质和等腰三角形的性质得出∠3=∠4，由ASA证明△AFC≌△AOC，得出对应边相等AF=OA，得出AF=CF=OA=OC，即可得出结论；
②由弦切角定理得出∠D′AF=∠1，证出∠3=∠4=30°，得出OD=$\frac{1}{2}$OA=2，得出AD=$\sqrt{3}$OD=2$\sqrt{3}$，菱形AOCF的面积=OC•AD，即可得出结果；

解答 （1）证明：连接OA，如图1所示：
由折叠的性质得：∠1=∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠1+∠DCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠DCA，
即∠1+∠3=∠DCA，
∴∠1+∠1+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
即∠OAD′=90°，
∴AD′⊥OA，
∴AD′是半圆的切线；
（2）①证明：如图2所示：
由折叠的性质得：∠1=∠2，∠D′=∠ADC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，
∵OA=OC，
∴∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
在△AFC和△AOC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=AC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$
∴△AFC≌△AOC（ASA），
∴AF=OA，
∴AF=CF=OA=OC，
∴四边形AOCF是菱形；
②解：∵AD是半圆O的切线，
∴∠D′AF=∠1，
∴∠D′AF=∠3=∠4，
∵四边形AOCF是菱形，
∴OA∥CF，
∴∠OAD′+∠D′=180°，
∴∠OAD′=90°，
∴∠3=∠4=30°，
∵OA=OC=$\frac{1}{2}$CE=4，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴AD=$\sqrt{3}$OD=2$\sqrt{3}$，
∴菱形AOCF的面积=OC•AD=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定方法、折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弦切角定理，菱形的面积公式，判断△AFC≌△AOC是解本题的关键，是一道中等难度的题目．