Question

12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据角平分线的定义可得∠1=∠2，然后求出∠2=∠C，再根据等角对等边可得BE=CE，结合图形AC-CE=AE，即可得到①正确；根据等腰三角形三线合一的性质即可得到点E在线段BC的垂直平分线上，从而得到②正确；根据直角三角形的性质分别得到∠DAE和∠C的度数，从而得到③正确；根据含30°的直角三角形的性质可得AB和BC，AD的关系，进一步得到BC和AD的关系，从而得到④正确．

解答 解：如图，∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠2=∠C，
∴BE=CE，
∵AC-CE=AE，
∴AC-BE=AE，故①正确；
∵BE=CE，
∴点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确；
∵∠1=∠2=∠C，
∴∠C=∠1=30°，
∴∠AEB=90°-30°=60°，
∴∠DAE=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠C，故③正确；
在Rt△BAC中，∠C=30°，
∴BC=2AB，
在Rt△BDA中，∠1=30°，
∴AB=2AD，
∴BC=4AD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选D．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，利用含30°的直角三角形的性质是解题的关键．