Question

4．如图，△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，

（1）探究图1：如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是∠BDA′=2∠A；
（2）探究图2：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由；
（3）探究图3：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由；
（4）探究图4：若将四边形纸片ABCD折成图4的形状，直接写出∠DE A′、∠CF B′、∠A和∠B四个角之间的数量关系∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

Answer 1

分析 （1）先根据折叠性质得∠A=∠AA′D，然后根据三角形外角性质易得∠BDA′=2∠A；
（2）图②，连结AA′，先根据三角形外角性质得∠BDA′=∠1+∠2，∠CEA=∠3+∠4，则∠BDA′+∠CEA=∠A+∠A′，所以∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）理由如下：图③，由折叠性质得∠A′=∠A，∠DEA′=∠DEA，∠A′DE=∠ADE，再根据三角形内角和得（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）=360°，接着利用平角定理得到2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°-∠BDA′）=360°，然后整理得到∠BDA′-∠CEA′=2∠A；
（4）先由折叠性质得∠A′EF=∠AEF，∠B′FE=∠BFE，然后根据平角定义和四边形内角和得到∠1+∠2=180°-（∠A′EF+∠AEF）+180°-（∠B′FE+∠BFE）=2（∠A+∠B）-360°．

解答 解：（1）∠BDA′=2∠A，
理由：∵△ABC沿直线DE折叠，使A点落在CE上，图①，
∴∠A=∠AA′D，
∴∠BDA′=∠A+∠AA′D=2∠A；
故答案为：∠BDA′=2∠A；

（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，
理由：图②，连结AA′，
∵∠BDA′=∠1+∠2，∠CEA=∠3+∠4，
∴∠BDA′+∠CEA=∠1+∠3+∠2+∠4=∠A+∠A′，
而∠A=∠AA′D，
∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
理由如下：图③，
由翻折可得：∠A′=∠A，∠DEA′=∠DEA，∠A′DE=∠ADE，
由内角和性质得：（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）=360°，
∴2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°-∠BDA′）=360°
∴2∠A+∠CEA′-∠BDA′=0，
∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A；

（4）由折叠性质得∠A′EF=∠AEF，∠B′FE=∠BFE，
∴∠1+∠2=180°-（∠A′EF+∠AEF）+180°-（∠B′FE+∠BFE）
=180°-2∠AEF+180°-2∠BFE
=360°-2（360°-∠A-∠B）
=2（∠A+∠B）-360°．
故答案为∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了折叠的性质、三角形外角性质．