题目内容

13．问题呈现：
如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）
实验探究：
某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S${\;}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S${\;}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，HF=$\sqrt{29}$，求EG的长．
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=$\sqrt{10}$，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

分析 问题呈现：只要证明S△HGE=$\frac{1}{2}$S矩形AEGD，同理S△EGF=$\frac{1}{2}$S矩形BEGC，由此可得S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=$\frac{1}{2}$S矩形BEGC；
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD-${S}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$．根据${S}_{△EH{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${S}_{矩形AE{C}_{1}H}$，${S}_{△HG{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${S}_{矩形HDG{D}_{1}}$，${S}_{△EF{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${S}_{矩形EBF{B}_{1}}$，${S}_{△FG{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${S}_{矩形CF{A}_{1}G}$，即可证明；
迁移应用：（1）利用探究的结论即可解决问题．
（2）分两种情形探究即可解决问题．

解答 问题呈现：证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∵AE=DG，
∴四边形AEGD是矩形，
∴S△HGE=$\frac{1}{2}$S矩形AEGD，
同理S△EGF=$\frac{1}{2}$S矩形BEGC，
∴S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=$\frac{1}{2}$S矩形BEGC．

实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD-${S}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$．

理由：∵${S}_{△EH{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${S}_{矩形AE{C}_{1}H}$，${S}_{△HG{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${S}_{矩形HDG{D}_{1}}$，${S}_{△EF{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${S}_{矩形EBF{B}_{1}}$，${S}_{△FG{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${S}_{矩形CF{A}_{1}G}$，
∴S四边形EFGH=${S}_{△EH{C}_{1}}$+${S}_{△HG{D}_{1}}$+${S}_{△EF{B}_{1}}$+${S}_{△FG{A}_{1}}$-${S}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$，
∴2S四边形EFGH=2${S}_{△EH{C}_{1}}$+2${S}_{△HG{D}_{1}}$+2${S}_{△EF{B}_{1}}$+2${S}_{△FG{A}_{1}}$-2${S}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$，
∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD-${S}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$．

迁移应用：解：（1）如图4中，

∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD-${S}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$．
∴${S}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$=25-2×11=3=A1B1•A1D1，
∵正方形的面积为25，∴边长为5，
∵A1D12=HF2-52=29-25=4，
∴A1D1=2，A1B1=$\frac{3}{2}$，
∴EG2=A1B12+52=$\frac{109}{4}$，
∴EG=$\frac{\sqrt{109}}{2}$．

（2）∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD+${S}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$．
∴四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
①如图5-1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
此时矩形A1B1C1D1面积=1•（$\sqrt{10}$-2）=$\sqrt{10}-2$

②如图5-2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大．
此时矩形A1B1C1D1面积=2•1=2，

∵2＞$\sqrt{10}$-2，
∴矩形EFGH的面积最大值=$\frac{17}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法添加辅助线，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．

练习册系列答案
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