Question

2．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，他给出（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）⁶的展开式．
（2）利用上面的规律计算：2⁶-6×2⁵+15×2⁴-20×2³+15×2²-6×2+1．

Answer 1

分析 （1）根据规律能得出（a+b）¹，（a+b）²，（a+b）³，（a+b）⁴，（a+b）⁵的值，即可推出（a+b）⁶的值；
（2）根据规律得出原式=（2-1）⁶，求出即可．

解答 解：（1）∵（a+b）¹=a+b，
（a+b）²=a²+2ab+b²，
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，
（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴，
（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵，
∴（a+b）⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶．
（2）2⁶-6×2⁵+15×2⁴-20×2³+15×2²-6×2+1=（2-1）⁶=1⁶=1．

点评 此题考查整式的混合运算，读懂题意，理解系数、字母以及字母的指数排列的规律，利用规律解决问题．