Question

如图，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上；AD的延长线交EF于H点．
（1）试说明：△AED∽△EHD；
（2）若E为CD的中点，求

HD

HA

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据正方形性质得出∠ADE=∠HDE=90°，∠AEH=90°，求出∠DAE=∠DEH，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据相似得出比例式

HD

DE

=

DE

AD

=

1

2

，即可求出答案．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠HDE=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEH=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠DEH=90°，
∴∠DAE=∠DEH，
∵∠ADE=∠HDE=90°，
∴△AED∽△EHD；

（2）∵△AED∽△EHD，
∴

HD

DE

=

DE

AD

，
∵E为CD的中点，
∴DC=2DE，
∴AD=2DE，
∴

HD

DE

=

DE

AD

=

1

2

，
∴

HD

HA

=

HD

AD+DH

=

HD

2DE+DH

=

HD

4DH+DH

=

1

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△AED∽△EHD，题目比较好，难度适中．