题目内容
2．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为110度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，
①当点P在线段BD上运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
②如果点P在射线BF或射线DE上运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
分析 （1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，得到∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，进而得出∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）过P作PE∥AB，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，进而得到∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）分两种情况进行讨论：点P在射线BF或射线DE上运动，分别根据平行线的性质，得到∠APG=|∠α-∠β|．
解答 解：（1）如图1，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：110；
（2）∠APC=∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA=∠α-∠β；
理由：如图，过P作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PG∥CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠APG-∠CPG=∠α-∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA=∠β-∠α．
理由：如图，过P作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PG∥CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠CPG-∠APG=∠β-∠α；
综上所述，∠APG=|∠α-∠β|．
点评 本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算．解题时注意分类思想的运用．
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