Question

1．如图，在△ABC中，点D在BC上，过点D作DE∥AC，交AB于点E，延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，交AB于点M．
（1）若DE：AC=3：4，EM=9，求AM的长度；
（2）求证：AB•ME=AM•EB．

Answer 1

分析 （1）由DE∥AC，得到△EFM∽△ACM，推出$\frac{EF}{AC}=\frac{EM}{AM}$，代入数据即可得到结论；
（2）由DE∥AC，得到△BDE∽△ABC，△EFM∽△ACM，推出$\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{AC}$，$\frac{EM}{AM}=\frac{EF}{AC}$，由于EF=DE，于是得$\frac{BE}{AB}=\frac{EM}{AM}$，即可得到结论．

解答 （1）解：∵DE∥AC，
∴△EFM∽△ACM，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{EM}{AM}$，
∵EF=DE，EM=9，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{9}{AM}=\frac{3}{4}$，
∴AM=12；

（2）证明：∵DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，△EFM∽△ACM，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{AC}$，$\frac{EM}{AM}=\frac{EF}{AC}$，
∵EF=DE，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{EM}{AM}$，
∴AB•ME=AM•EB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．