题目内容

（2013•香坊区三模）在四边形ABCD中，点E是CD上一点，BC2=CE•CD，连接BD．
（1）如图1，若BD=DE，求证：2∠CBD-∠BDC=180°；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点A作BC的平行线交BD于点N，交CD于点G，将射线BC沿BE翻折交CD于点F，连接AF交BD于点H，若∠DAN=∠ABD，AD=
2
BE，请探究线段AH与BH之间的数量关系，并证明你的结论．
分析：（1）BC2=CE•CD利用两边对应成比例且夹角相等证得BCE∽△DCB，得到∠1=∠2，从而得到∠DBE=∠3=
1
2
(180o-∠2)=90°-
1
2
∠2，利用2∠CBD-∠BDC=2（∠1+∠DBE）-∠2=2（∠1+90°-
1
2
∠2）-∠2=2∠1+180°-∠2-∠2即可得到结论；
（2）结论仍然成立；AH=
2
BH，首先根据（1）中的结论得到BE=BF，然后证得△DNG∽△DFB得到DN•DB=DF•DG，从而证得△AND∽△BAD，进一步得到△ADG∽△FDA，最后得到△AHD∽△HBF，利用相似三角形对应边成比例得到
AH
BH
=
AD
BF
=
AD
BE
=
2
，从而证得结论：AH=
2
BH．
解答：证明：（1）∵BC2=CE•CD即
BC
CD
=
CE
BC
，
又∵∠C=∠C
∴△BCE∽△DCB．
∴∠1=∠2．
∵BD=DE∴∠DBE=∠3．
在△BED中∵∠DBE+∠2+∠3=180°，
∴∠3+∠2+∠3=180°
∴∠DBE=∠3=
1
2
(180o-∠2)=90°-
1
2
∠2．
∴2∠CBD-∠BDC=2（∠1+∠DBE）-∠2=2（∠1+90°-
1
2
∠2）-∠2=2∠1+180°-∠2-∠2
=2∠1+180°-2∠1=180°，
即2∠CBD-∠BDC=180°；

（2）AH=
2
BH
理由为：∵∠1=∠EBF，∠1=∠2
∴∠1=∠2=∠EBF，由（1）的结论：2∠CBD-∠BDC=180°得：
2（∠1+∠EBF+∠4）-∠2=180°，
∴2（∠2+∠2+∠4）-∠2=180°，
∴2（∠2+∠BFE）-∠2=180°，
∴∠BFE=90°-
1
2
∠2，由（1）知：∠3=90°-
1
2
∠2，
∴∠3=∠BFE
∴BE=BF…（1分）．
∵∠4=∠BFE-∠2，∠C=∠3-∠1，∠3=∠BFE，∠1=∠2，
∴∠4=∠C，
∵NG∥BC，
∴∠DGN=∠C，
∴∠DGN=∠4
又∵∠2=∠2，
∴△DNG∽△DFB
∴
DN
DF
=
DG
DB
．
∴DN•DB=DF•DG，
∵∠5=∠ABD，
∴△AND∽△BAD，
∴
DN
AD
=
AD
BD
，
∴AD2=DN•BD
∴AD2=DF•DG
即
AD
DF
=
DG
AD
，
又∵∠ADG=∠FDA，
∴△ADG∽△FDA
∴∠DGA=∠DAF，
∵∠AGD=∠4
∴∠DAF=∠4，
又∵∠AHD=∠BHF，
∴△AHD∽△HBF，
∴
AH
BH
=
AD
BF
=
AD
BE
=
2
，
∴AH=
2
BH．
点评：本题考查了相似三角形的综合知识，题目中多次用到相似三角形的判定，解题时要细心，难度偏大．
练习册系列答案
相关题目
（2013•香坊区三模）在-1、3、-
2
、
1
2
四个实数中，最小的实数是（　　）
（2013•香坊区三模）下列计算正确的是（　　）
（2013•香坊区三模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
（2013•香坊区三模）同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（　　）
（2013•香坊区三模）据统计，目前哈尔滨常住总人口为10004000万人，把10004000用科学记数法表示为
1.0004×107
1.0004×107
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网