已知直线l1:y=$\frac{1}{2}$x-2与x轴交于点A.与y轴交于点B.将直线沿x轴翻折.得到一个新函数的图象l2(图1).直线l2与y轴交于点C．(1)求新函数的图象l2的解析式,(2)在直线AC上一动点D(x.y).连接BD.试求△BAD的面积S关于x的函数解析式.并写出自变量的取值范围,画平行于y轴的直线EF.①求证:△ABE是等腰直角三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

已知直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x-2与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l₂（图1），直线l₂与y轴交于点C．
（1）求新函数的图象l₂的解析式；
（2）在直线AC上一动点D（x，y），连接BD，试求△BAD的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）如图2，过点E（2，-6）画平行于y轴的直线EF，
①求证：△ABE是等腰直角三角形；
②将直线l₁沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线l₁与x轴交于点A₁，与y轴交于点B₁，在直线EF上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得△A₁B₁P是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

分析（1）先由折叠得出点C的坐标，进而得出结论；
（2）分两种情况用三角形的面积公式即可得出函数关系式；
（3）①利用勾股定理的逆定理即可判断出结论；
②先判断出△A₁B₁P是等腰直角三角形，只有直线A₁B₁与y轴的交点为直角顶点，无论移动到什么位置，要使△A₁B₁P是等腰直角三角形，必有△A₁OB₁≌△B₁HP
根据①特点，要使得△A₁B₁P是等腰直角三角形，直线AB平移情况和点P平移的情况相同，即可得出结论．

解答解：（1）∵直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x-2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，-2），
∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l₂，直线l₂与y轴交于点C．
∴C（0，2），
∵A（4，0），
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
（2）如图2，由（1）知，直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵在直线AC上一动点D（x，y），
∴D（x，-$\frac{1}{2}$x+2）
过点D作DG⊥OA，
∵直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴G（x，$\frac{1}{2}$x-2），
∴DG=|-$\frac{1}{2}$x+2-（$\frac{1}{2}$x-2|=|x-4|
①当x≥4时，DG=x-4，x_A-x_D=x_D-x_A，
∴S=S_△BDG-S_△ADG=$\frac{1}{2}$DG×x_D-×$\frac{1}{2}$DG×（x_D-x_A）=$\frac{1}{2}$DG×x_A=$\frac{1}{2}$（x-4）×4=2x-4，
②当x＜4时，DG=4-x，|x_A-x_D|=x_A-x_D，
∴S=$\frac{1}{2}$DG×|x_D|+$\frac{1}{2}$DG×|x_A-x_D|=$\frac{1}{2}$DG×x_A=$\frac{1}{2}$（4-x）×4=8-2x，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{8-2x（x＜4）}\\{2x-8（x≥4）}\end{array}\right.$，
（3）①由（1）知，A（4，0），B（0，-2），
∵E（2，-6），
∴AB²=20，AE²=40，BE²=20，
∴AB=BE，AE²=AB²+BE²，
∴△ABE是等腰直角三角形；
②存在；
理由：如图2，

∵AB不垂直EF，
∴平移的过程中，使得△A₁B₁P是等腰直角三角形，∠B₁A₁P≠90°，
即：点A₁不可能是直角顶点，点P也不可能是直角顶点，
∴只有点B₁是直角顶点，
∴B₁P=B₁A₁，
∵∠A₁B₁O+∠PB₁H=90°，∠A₁B₁O+∠OA₁B₁=90°，
∴∠OA₁B₁=∠PB₁H，
在△A₁OB₁和△B₁HP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{A}_{1}O{B}_{1}=∠{B}_{1}HP}\\{∠O{A}_{1}{B}_{1}=∠H{B}_{1}P}\\{{A}_{1}{B}_{1}={B}_{1}P}\end{array}\right.$，
∴△A₁OB₁≌△B₁HP，
∴B₁H=A₁B₁，OB₁=HP=2，
∴B₁（0，-2）或（0，2），
当点B₁（0，-2）时，是①的情况，P（2，-6），
当点B₁（0，2）时，
∵B（0，-2），
∴直线AB向上平移4个单位，
∴点P也向上平移4个单位，
∴P（2，-2），
∴P（2，-6）或（2，-2）．