Question

在直角坐标系中，有一点C的坐标为（3，4），经过点C的抛物线为y=ax²+c（a≠0），四边形ABCD是正方形（A、B、C、D四点顺次排列）
（1）若抛物线经过原点，求出a和c的值．
（2）若正方形ABCD有两个顶点均在y轴，y=kx经过第三个顶点（除C外），写在此时的正比例函数解析式．
（3）若点A在x轴上，点B在y轴上，且点D是抛物线上一点，求出点D的坐标并求出相应的二次函数解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点C和原点的坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出a、c的值；
（2）判断出正方形的边长，然后分两种情况写出正方形在y轴上的两个点的坐标，从而得到第三个顶点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）设点A（a，0），B（0，b），再分点A、B在坐标轴的正半轴和负半轴两种情况，根据全等三角形对应边相等列出方程组，然后求出点A、B的坐标，再写出点D的坐标，最后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可．

解答：解：（1）∵抛物线经过点O（0，0），C（3，4），
∴

c=0 9a+c=4

，
解得

a= 4 9 c=0

；

（2）∵正方形ABCD有两个顶点均在y轴上，
∴正方形的边长为3，
∴在y轴上的两点坐标分别为（0，4），（0，1）或（0，4），（0，7），
∴第三个顶点坐标为（3，1）或（3，7），
设正比例函数解析式为y=kx，将（3，1），（3，7）分别代入解得k₁=

1

3

，k₂=

7

3

，
所以，正比例函数解析式为y=

1

3

x或y=

7

3

x；

（3）如图，设点A（a，0），B（0，b），
由三角形全等可得

a+b=4 b=3

或

-b=3 -b+4=-a

，
解得

a=1 b=3

或

a=-7 b=-3

，
所以，点A（1，0），B（0，3）或A（-7，0），（0，-3），
∴可求点D（4，1）或（-4，7），
将C、D的坐标代入y=ax²+c得，

9a+c=4 16a+c=1

或

9a+c=4 16a+c=7

，
解得

a=- 3 7 c= 55 7

或

a= 3 7 c= 1 7

．
所以，抛物线的解析式为y=-

3

7

x²+

55

7

或y=

3

7

x²+

1

7

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的性质，难点在于（3）根据全等三角形对应边相等列出方程组．