Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，连结BE交AC于F，连结FD．若∠BFA=90°，AB=3，tan∠ACB=

3

4

，则DF=

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：利用tan∠ACB求出BC，再根据勾股定理列式求出AC，然后求出AF，过点F作FH⊥AD于H，解直角三角形求出AH、FH，再求出DH，然后利用勾股定理列式计算即可求出DF．

解答：解：∵AB=3，tan∠ACB=

3

4

，
∴BC=3÷

3

4

=4，
由勾股定理得，AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5，
∵∠BFA=90°，
∴AF=AB•cos∠BAC=3×

3

5

=

9

5

，
过点F作FH⊥AD于H，
则AH=AF•cos∠CAD=

9

5

×

4

5

=

36

25

，
FH=AF•sin∠CAD=

9

5

×

3

5

=

27

25

，
∴DH=AD-AH=4-

36

25

=

64

25

，
在Rt△DFH中，DF=

DH2+FH2

=

( 64 25 )2+( 27 25 )2

=

193

5

．
故答案为：

193

5

．

点评：本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对边相等，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数，作辅助线构造出以DF为斜边的直角三角形是解题的关键．