Question

5．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、BC，分别与⊙O相交于点D、点E，且$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD、DE、AE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）试判断△DEC的形状，并说明理由；
（3）若⊙O的半径为5，AC=12，求sin∠EAB的值．

Answer 1

分析 （1）连接半径OD，先证明△ABD≌△CBD，得AD=CD，根据OD是中位线得：OD∥BC，所以DF⊥OD，DF是⊙O的切线；
（2）由弧相等得所对的弦相等：$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，则AD=DE，由（1）中的：AD=CD，得△DEC是等腰三角形，
（3）设BE=x，则CE=10-x，利用勾股定理列方程可得结论．

解答 证明：（1）连接OD，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴AD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）△DEC是等腰三角形，理由是：
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴AD=DE，
∵AD=CD，
∴CD=DE，
∴△DEC是等腰三角形；
（3）∵⊙O的半径为5，
∴BC=AB=10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
设BE=x，则CE=10-x，
由勾股定理得：12²-（10-x）²=10²-x²，
解得：x=$\frac{14}{5}$，
∴BE=$\frac{14}{5}$，
在Rt△AEB中，sin∠EAB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{14}{5}}{10}$=$\frac{7}{25}$．

点评 本题是圆的综合题，难度适中，属于常考题型；考查了圆的切线的判定、勾股定理、圆周角定理、弧与弦与圆周角的关系、等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，本题运用的知识较多，熟练掌握切线的判定是关键：①有垂直，证半径；②连半径，证垂直．