Question

如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

⑴求证：△ABF≌△ECF

⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

Answer 1

证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.

∵EC=DC, ∴AB=EC．

在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，

∴⊿ABF≌⊿ECF．

（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．

∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．

∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．

解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．

又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，

∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．

又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．