Question

若把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l上，OA边与直线l重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处；接着，又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕顶点B₁按顺时针方向旋转90°，…，按上述方法经过若干次旋转．当顶点O经过的路程是（20+10

2

）π时，正方形纸片OABC按上述方法旋转次数为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,弧长的计算

专题：规律型

分析：第一次以A为圆心OA为半径的弧长，旋转了90°，第二次以B₁为圆心，正方形的对角线为半径，旋转角为90°，第三次以B₁为圆心，OA长为半径，旋转90°，第四次以O为旋转中心，此时O点没有运动，四次后O点又回到初始状态的相对位置，四次一循环，再利用弧长的计算公式分别计算即可．

解答：解：由题意可知每旋转四次O点经过的路程为：

1

4

×2π+

1

4

×2

2

π+

1

4

×2π=（1+

2

2

）π，
而[20+10

2

）π]÷（1+

2

2

）π=20，
∴正方形纸片OABC按上述方法旋转次数为4×20=80，而最后一次O点没有运动，所以第79次旋转也符合题意，
故答案为：79或80．

点评：本题主要考查旋转的性质，确定出前四次O点经过的路线是解题的关键，注意规律的寻找．