Question

18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（-2，-3），直线y=$\frac{1}{2}$x-1与OC、AB分别交于占D、E，点P在矩形的边AB或BC上，作PF⊥ED于点F，连接PD，当△PFD是等腰三角形时，点P的坐标为（-$\frac{2}{3}$，-3）或（-2，-$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由于点P的位置不确定，所以需要分情况讨论，一是点P在AB边上，二是点P在BC边上，然后根据等腰三角形的性质即可求出P的坐标．

解答 解：当P在AB上时，
设直线ED与x轴交于点G，
设PF=DF=x，
令y=0和x=-2代入y=$\frac{1}{2}$x-1
∴x=2和y=-2
∴G（2，0），E（-2，-2），
∴AG=4，AE=2，
∴tan∠PEF=$\frac{PF}{EF}$=$\frac{AG}{AE}=2$，
∴EF=$\frac{x}{2}$，
∴ED=x+$\frac{x}{2}$=$\frac{3x}{2}$，
令x=0代入y=$\frac{1}{2}$x-1，
∴D（0，-1）
∴ED=$\sqrt{（-2-0）^{2}+（-2+1）^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴$\frac{3}{2}x$=$\sqrt{5}$，
∴x=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
∴由勾股定理可知：PE=$\frac{\sqrt{5}}{2}x$=$\frac{5}{3}$，
∴AP=AE-PE=2-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{3}$
此时P的坐标为（-2，-$\frac{1}{3}$）
当点P在BC边上时，
过点D作P′D⊥PD，垂足为D，
过点P作PH⊥y轴，垂足为H，
易证：△PDH∽△P′DC
∴$\frac{PH}{DH}=\frac{CD}{P′C}$
∵PH=2，DH=OD-OH=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$
CD=OC-OD=3-1=2
∴$\frac{2}{\frac{2}{3}}=\frac{2}{P′C}$
∴P′C=$\frac{2}{3}$，
∴P′的坐标为（-$\frac{2}{3}$，-3）
故答案为：（-$\frac{2}{3}$，-3）或（-2，-$\frac{1}{3}$）

点评 本题考查等腰三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．