Question

14．（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；
（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=α，tanα=$\frac{4}{3}$，CD=5，AD=12，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）作图：分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD；再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；
利用等边三角形的性质证明△DAC≌△BAE可以得出结论；
（2）如图2，作辅助线后，证明△DAB≌△EAC得：EC=BD，在Rt△DCE中，利用勾股定理求EC的长，则BD=EC=$\sqrt{22}$；
（3）如图3，构建直角△DAE，根据同角的三角函数求AE和DE的长，从而可以得到EC的长，利用三角形相似可以得BD的长．

解答 解：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；
证明：如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=CD；

（2）如图2，过A作AE⊥AD，使AD=AE=3，连接DE、CE，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴∠EDA=45°，
∵∠ADC=45°，
∴∠EDC=∠EDA+∠ADC=90°，
∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠DAC=∠EAD+∠DAC，
即∠EAC=∠DAB，
∵AE=AD，AC=AB，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴EC=BD，
在Rt△DCE中，EC=$\sqrt{E{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{22}$，
∴BD=EC=$\sqrt{22}$；

（3）如图3，作直角三角形DAE，使得∠DAE=90°，
∠EDA=∠ABC，连接EC，
容易得到△DAE∽△BAC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，
∴△EAC∽△DAB，
∴$\frac{EC}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}$，
在△DCE中，∠ADC=∠ACB，
∠EDA=∠ABC，
∴∠EDC=90°，
∵$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}$，AD=12，
∴AE=9，∠DAE=90°，
∴DE=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
CE=$\sqrt{1{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{10}$，
由△EAC∽△DAB，
∴$\frac{5\sqrt{10}}{BD}=\frac{3}{4}$
BD=$\frac{20\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了三角函数、三角形全等、相似的性质和判定、等边三角形的性质和判定、尺规作图等知识，并运用了类比的方法解决问题，是一个难得的三角形的压轴题；此类题在求线段的长时，可以利用三角形相似或同角的三角函数求时，两种方法对比，利用同角三角函数更为简单．