题目内容
已知矩形ABCD，点E﹑F分别在边AD﹑CD上，且AF⊥BE于点G，AD=mAB，AD=nAE．
（1）如图1，当m=1，n=2时，则
=
=
（2）在（1）的条件下，连接CG，求证：CG=CB；
（3）如图2，对于矩形ABCD，若CG=CB，则m﹑n必满足的数量关系是
（1）如图1，当m=1，n=2时，则
| AF |
| BE |
1
1
，| DF |
| CF |
1
1
；（2）在（1）的条件下，连接CG，求证：CG=CB；
（3）如图2，对于矩形ABCD，若CG=CB，则m﹑n必满足的数量关系是
n=2m2
n=2m2
．分析：（1）由AF⊥BE得到∠AGB=90°，根据等角的余角相等得∠ABG=∠GAE，根据相似的判定方法得到Rt△ABE∽Rt△DAF，则
=
=
，
然后利用AD=AB得
=1，DF=AE，再利用AD=2AE得AB=2DF，即DC=2DF，所以
=1；
（2）作CH⊥BG于H，利用正切的定义得tan∠ABE=
=
，而∠ABE=∠BCH，所以tan∠BCH=
=
，根据“AAS”可判断Rt△ABG≌Rt△BCH，
BG=CH，然后根据等腰三角形的判定可得到CB=CG；
（3）作CH⊥BG于H，由CB=CG得到BG=2BH，根据有两组角分别相等的两三角形相似易得Rt△BCH∽Rt△EBA∽Rt△ABG，则
=
，
=
，
由AD=mAB，AD=nAE得到BC=mAB，AB：AE=n：m，所以
=
=
，
=
=m，即
=2m，然后经过代换可得m与n的关系．
| AF |
| BE |
| AD |
| AB |
| DF |
| AE |
然后利用AD=AB得
| AF |
| BE |
| DF |
| CF |
（2）作CH⊥BG于H，利用正切的定义得tan∠ABE=
| AE |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| BH |
| CH |
BG=CH，然后根据等腰三角形的判定可得到CB=CG；
（3）作CH⊥BG于H，由CB=CG得到BG=2BH，根据有两组角分别相等的两三角形相似易得Rt△BCH∽Rt△EBA∽Rt△ABG，则
| BH |
| AE |
| HC |
| AB |
| HC |
| BG |
| BC |
| AB |
由AD=mAB，AD=nAE得到BC=mAB，AB：AE=n：m，所以
| HC |
| BH |
| AB |
| AE |
| n |
| m |
| HC |
| BG |
| HC |
| 2BH |
| HC |
| BH |
解答：（1）解：∵AF⊥BE，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠BAG+∠GAE=90°，
∴∠ABG=∠GAE，
∴Rt△ABE∽Rt△DAF，
∴
=
=
，
∵AD=AB，
∴
=1，DF=AE，
∵AD=2AE，
∴AB=2DF，即DC=2DF，
∴
=1；
（2）证明：作CH⊥BG于H，如图1，
∵tan∠ABE=
=
，
而∠ABE=∠BCH，
∴tan∠BCH=
=
，
∵AB=BC，
∴Rt△ABG≌Rt△BCH，
∴BG=CH，
∴BH=
BG，
∴△BCG为等腰三角形，
∴CB=CG；
（3）解：作CH⊥BG于H，如图2，
∵CB=CG，
∴BG=HG，即BG=2BH，
易证得Rt△BCH∽Rt△EBA∽Rt△ABG，
∴
=
，
=
，
∵AD=mAB，AD=nAE．
∴BC=mAB，AB：AE=n：m，
∴
=
=
，
=
=m，即
=2m，
∴
=2m，
∴n=2m2．
故答案为1，1；n=2m2．
∴∠AGB=90°，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠BAG+∠GAE=90°，
∴∠ABG=∠GAE，
∴Rt△ABE∽Rt△DAF，
∴
| AF |
| BE |
| AD |
| AB |
| DF |
| AE |
∵AD=AB，
∴
| AF |
| BE |
∵AD=2AE，
∴AB=2DF，即DC=2DF，
∴
| DF |
| CF |
（2）证明：作CH⊥BG于H，如图1，
∵tan∠ABE=
| AE |
| AB |
| 1 |
| 2 |
而∠ABE=∠BCH，
∴tan∠BCH=
| 1 |
| 2 |
| BH |
| CH |
∵AB=BC，
∴Rt△ABG≌Rt△BCH，
∴BG=CH，
∴BH=
| 1 |
| 2 |
∴△BCG为等腰三角形，
∴CB=CG；
（3）解：作CH⊥BG于H，如图2，
∵CB=CG，
∴BG=HG，即BG=2BH，
易证得Rt△BCH∽Rt△EBA∽Rt△ABG，
∴
| BH |
| AE |
| HC |
| AB |
| HC |
| BG |
| BC |
| AB |
∵AD=mAB，AD=nAE．
∴BC=mAB，AB：AE=n：m，
∴
| HC |
| BH |
| AB |
| AE |
| n |
| m |
| HC |
| BG |
| HC |
| 2BH |
| HC |
| BH |
∴
| n |
| m |
∴n=2m2．
故答案为1，1；n=2m2．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了三角形全等的判定与性质以及矩形的性质．
练习册系列答案
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如图，已知矩形ABCD，点E为矩形外一点，且AE=DE．求证：BE=CE．