Question

5．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，连接DC并延长交y轴于点F．若点F的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，-2）．
（1）求证：DC=FC；
（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）求⊙P的半径．

Answer 1

分析 （1）通过证△FOC≌△DHC（AAS）得到：DC=FC；
（2）如图，连接PC．⊙P与x轴的位置关系是相切．欲证明⊙P与x轴相切．只需证得PC⊥x轴；
（3）设AD的长为x，则在等腰直角△ABD中，由勾股定理，得x²=6²+（x-2）²，通过解方程求得x=10．则点A的坐标为（0，-9）．依据点A、D的坐标来求出AD即可得出半径．

解答 解：（1）证明：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，则∠CHD=∠COF=90°．
∵点F的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，-2），
∴DH=OF，
∵在△FOC与△DHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠DCH}\\{∠FOC=∠DHC=90°}\\{OF=HD}\end{array}\right.$，
∴△FOC≌△DHC（AAS），
∴DC=FC；

（2）答：⊙P与x轴相切．理由如下：
如图，连接CP．
∵AP=PD，DC=CF，
∴CP∥AF，
∴∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x轴．
又PC是半径，
∴⊙P与x轴相切；

（3）解：由（2）可知，CP是△DFA的中位线，
∴AF=2CP．
∵AD=2CP，
∴AD=AF．
连接BD．
∵AD是⊙P的直径，
∴∠ABD=90°，
∴BD=OH=6，OB=DH=FO=2．
设AD的长为x，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
x²=6²+（x-4）²，
解得 x=$\frac{13}{2}$．
∴OA=AF-FO=$\frac{9}{2}$
∴点A的坐标为（0，-$\frac{9}{2}$）．
∵点D的坐标为（6，-2）．
∴AD=$\sqrt{{6}^{2}+（-2+\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
∴⊙P的半径为$\frac{1}{2}$AD=$\frac{13}{4}$．

点评 此题是圆的综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质以及切线的判定与性质．解题时，注意数形结合数学思想的应用．