Question

12．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=6，F是AD上的点，且AF=2，E在BC上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点A′处，G是FD上的动点，连接AA′、A′G，当△AA′G为直角三角形时，AG的值为4或2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分∠AA′G=90°和∠AGA′=90°两种情况考虑：当∠AA′G=90°时，过点A′作A′N⊥AD与点N，则A′N=AB=1，由翻折的性质可得出A′F=AF=2，再根据勾股定理即可得出FN、AA′²，利用相似三角形的判定与性质即可得出$\frac{AA′}{AG}=\frac{AN}{AA′}$，代入数据即可求出AG的长度；当∠AGA′=90°时，AG=AN．综上即可得出结论．

解答 解：当∠AA′G=90°时，过点A′作A′N⊥AD与点N，则A′N=AB=1，如图所示．
由翻折的性质可知：A′F=AF=2．
根据勾股定理得：A′F²=A′N²+FN²，
∴FN=$\sqrt{3}$，AN=AF+FN=2+$\sqrt{3}$．
∵AA′²=A′N²+AN²，
∴AA′²=8+4$\sqrt{3}$．
∵∠A′AN=∠GAA′，∠ANA′=∠AA′G=90°，
∴△AA′N∽△AGA′，
∴$\frac{AA′}{AG}=\frac{AN}{AA′}$，
∴AG=$\frac{AA{′}^{2}}{AN}$=$\frac{8+4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=4；
当∠AGA′=90°时，AG=AN=2+$\sqrt{3}$．
故答案为：4或2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变化以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是分∠AA′G=90°和∠AGA′=90°两种情况考虑．