Question

如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．
（1）如图1，当α=60°时，∠BCE=

 

．
（2）如图2，当α=90°时，
①试判断∠BCE的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明
②若AE与BC边交于F，试比较DF与（BD+CF）的大小，并写出证明过程．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形三边关系,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（1）易证△ABD≌△ACE，则有∠ABD=∠ACE，就可求出∠BCE的值．
（2）①设AE与BC的交点为F，如图2．由∠ACB=∠DEA=45°可证到△AFC∽△DFE，进而可证到△AFD∽△CFE，则有∠DAF=∠BCE=45°．
②将线段AD绕着点A逆时针旋转90°到AG的位置，连接CG，FG，如图3，则有AG=AD，∠DAG=90°．易证△BAD≌△CAG，则有BD=CG，∠ABD=∠ACG，从而可求出∠FCG=90°．易证∠FAG=∠DAF，从而可证到△DAF≌△GAF，则有∴DF=GF．在Rt△FCG中，根据三角形的三边关系得：FG＜CG+CF．由于FG=DF，CG=BD，因此DF＜BD+CF．

解答：解：（1）如图1，

∵AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°，
∴△ABC和△DAE是等边三角形，∠BAD=∠CAE．
∴AD=AE，∠BCA=60°，∠ABD=60°．
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

．
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴∠ABD=∠ACE．
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABD=120°．
故答案为：120°．

（2）①∠BCE的度数不变，等于45°．
证明：设AE与BC的交点为F，如图2．

∵AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=90°，
∴∠B=∠ACB=∠DAE=∠DEA=45°．
∵∠AFC=∠DFE，∠ACF=∠DEF，
∴△AFC∽△DFE．
∴

FA

FD

=

FC

FE

．
∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△CFE．
∴∠DAF=∠ECF．
∴∠ECF=45°，即∠BCE=45°．
②DF＜BD+CF．
证明：将线段AD绕着点A逆时针旋转90°到AG的位置，连接CG，FG，如图3．

则有AG=AD，∠DAG=90°．
∵∠BAC=∠DAG=90°，
∴∠BAD=∠CAG．
在△BAD和△CAG中，

AB=AC ∠BAD=∠CAG AD=AG

．
∴△BAD≌△CAG（SAS）．
∴BD=CG，∠ABD=∠ACG．
∴∠FCG=∠FCA+∠ACG=∠FCA+∠ABD=90°．
∵∠DAG=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAG=∠DAG-∠DAF=45°=∠DAF．
在△DAF和△GAF中，

AD=AG ∠DAF=∠FAG AF=AF

．
∴△DAF≌△GAF（SAS）．
∴DF=GF．
在Rt△FCG中，
根据三角形的三边关系得：FG＜CG+CF．
∵FG=DF，CG=BD，
∴DF＜BD+CF．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，通过旋转变换构造全等三角形，从而将相关线段转移到同一个三角形中是解决最后一个问题的关键．