已知点P是线段AB上与点A不重合的一点.且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α得到AP1.BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2.连接PP1.PP2．(1)解决问题如图1.当α=90°时.若BP=2AP=4.求P1.P2两点间的距离,(2)变式训练如图2.当点P2在AP1的延长线上时.求证:△P2P1P∽△P2PA,(3)深入探究如图3.若点Q是△P2PB的外心.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP₁，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP₂，连接PP₁、PP₂．

（1）解决问题如图1，当α=90°时，若BP=2AP=4，求P₁、P₂两点间的距离；
（2）变式训练如图2，当点P₂在AP₁的延长线上时，求证：△P₂P₁P∽△P₂PA；
（3）深入探究如图3，若点Q是△P₂PB的外心，连接PQ，试探究P₁P与PQ之间的位置关系，并说明理由．

分析（1）由旋转的性质得：AP=AP₁，BP=BP₂．推出△PAP₁和△PBP₂均为等腰直角三角形，得到∠P₁PP₂=180°-∠APP₁-∠BPP₂=90°，然后根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据题意得出△PAP₁和△PBP₂均为顶角为α的等腰直角三角形，进而得出∠P₁PP₂=∠PAP₂=α，求出△P₂P₁P∽△P₂PA；
（3）首先连结QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P₁PQ=180°-∠APP₁-∠QPB求出即可．

解答（1）解：由旋转的性质得：AP=AP₁，BP=BP₂．
∵α=90°，
∴△PAP₁和△PBP₂均为等腰直角三角形，
∴∠APP₁=∠BPP₂=45°，
∴∠P₁PP₂=180°-∠APP₁-∠BPP₂=90°，
∵BP=2AP=4，
∴AP=2，
∴PP₁=2$\sqrt{2}$，PP₂=4$\sqrt{2}$，
∴P₁P₂=$\sqrt{P{{P}_{1}}^{2}+P{{P}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；

（2）证明：由旋转的性质可知△PAP₁和△PBP₂均为顶角为α的等腰三角形，
∴∠APP₁=∠BPP₂=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠P₁PP₂=180°-（∠APP₁+∠BPP₂）=180°-2（90°-$\frac{α}{2}$）=α，
在△PP₂P₁和△P₂PA中，∠P₁PP₂=∠PAP₂=α，
又∵∠PP₂P₁=∠AP₂P，
∴△P₂P₁P∽△P₂PA；

（3）证明：如图3，连接QB．
∵l₁，l₂分别为PB，P₂B的中垂线，
∴EB=$\frac{1}{2}$BP，FB=$\frac{1}{2}$BP₂．
又∵BP=BP₂，
∴EB=FB．
在Rt△QBE和Rt△QBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=FB}\\{QB=QB}\end{array}\right.$，
∴Rt△QBE≌Rt△QBF，
∴∠QBE=∠QBF=$\frac{1}{2}$∠PBP₂=$\frac{α}{2}$，
由中垂线性质得：QP=QB，
∴∠QPB=∠QBE=$\frac{α}{2}$，
由（2）知∠APP₁=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠P₁PQ=180°-∠APP₁-∠QPB=180°-（90°-$\frac{α}{2}$）-$\frac{α}{2}$=90°，
即 P₁P⊥PQ．

点评此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt△QBE≌Rt△QBF是解题关键．

练习册系列答案

	A．	相等的角是对顶角
	B．	同角的补角相等
	C．	直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
	D．	平行于同一条直线的两条直线平行

12．为了解九（3）班学生每天零花钱的使用情况，小明随机调查了20名同学，结果如表：关于这20名同学每天使用的零花钱，下列说法错误的是（　　）