Question

20．反比例函数的图象经过点A（2，3），点B（a，b），过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连结AD，CB，若AD=BC，则点B的坐标为（4，$\frac{3}{2}$）或（3，2）或（-3，-2）．

Answer 1

分析 先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出b=$\frac{6}{a}$．设BD，AC交于点E，利用锐角三角函数的定义得出tan∠EAB=tan∠ECD，再根据平行线的判定可得DC∥AB，当AD=BC时，分两种情况：
①当AD∥BC时，由中心对称的性质得出a的值，故可得出点B的坐标；
②当AD与BC所在直线不平行时，由轴对称的性质得：BD=AC，求出a的值，故可得出点B的坐标．

解答 解：∵反比例函数的图象经过点A（2，3），点B（a，b），
∴ab=2×3=6，
∴b=$\frac{6}{a}$．
设BD，AC交于点E，
∵A（2，3），点B（a，b），
∴在Rt△AEB中，tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{a-2}{3-\frac{6}{a}}$=$\frac{a}{3}$；
在Rt△CED中，tan∠ECD=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{2}{\frac{6}{a}}$=$\frac{a}{3}$；
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，由中心对称的性质得：BE=DE，则a-2=2，得a=4．
∴点B的坐标是（4，$\frac{3}{2}$）．
②当AD与BC所在直线不平行时，由轴对称的性质得：BD=AC，
∴a=3，
∴点B的坐标是（3，2）．
B点在第三象限还有（-3，-2）．
综上所述，所求点B的坐标是（4，$\frac{3}{2}$）或（3，2）或（-3，-2）．
故答案为（4，$\frac{3}{2}$）或（3，2）或（-3，-2）．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，平行线的判定，中心对称、轴对称的性质，难度适中．利用数形结合与分类讨论是解题的关键．