Question

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（1，0），直线y=2x-1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A到直线CD的距离；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点P使P、C、D为顶点、CD为底边的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得C的坐标，然后证得C为抛物线的顶点，即可设抛物线的解析式为y=ax²-1，把A（-1，0）代入即可求得；
（2）根据抛物线与直线方程求得点D、E的坐标，然后利用面积法来求点A到直线CD的距离；
（3）运用三角形相似得到以CD为底边的等腰直角三角形的腰长，然后求出P点的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=2x-1与y轴交于点C，
∴C的坐标（0，-1），
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（1，0），
∴对称轴为y轴，
∴C点就是抛物线的顶点，
设把A（-1，0）代入得，a-1=0，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-1}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$
得到：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即C（0，-1），D（2，3）．
则CD=2$\sqrt{5}$．
设直线CD与x轴交于点E，点A到直线CD的距离为h．
易求E（$\frac{1}{2}$，0），
所以AE=$\frac{3}{2}$．
所以$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×（1+3）=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$h，
解得h=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
即点点A到直线CD的距离的$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
（3）存在；
如图，P₁P₂垂直平分CD，
∵CD=2$\sqrt{5}$
∴当△PCD是等腰直角三角形时，FD=FC=FP=$\sqrt{5}$，
∴PC=PD=$\sqrt{10}$
∴P₁（3，0），P₂（-1，2）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式以及直线和抛物线的交点的求法．解答（2）题时，利用△ACD的面积公式来求h的值，比较直观，易于理解．