Question

如图，二次函数y1=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-3），一次函数y₂=mx+n的图象过点A、C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（3）根据图象写出y₂＜y₁时，x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把B（1，0），C（0，-3）分别代入y1=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，求出b、c即可；
（2）令y₁=0，得到x²+2x-3=0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（3）观察图象可得当x＜-3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y₂＜y₁．

解答：解：（1）由二次函数y1=x2+bx+c的图象经过B（1，0）、C （0，-3）两点，
得 

1+b+c=0 c=-3.

，
解这个方程组，得

b=2 c=-3.

，
∴抛物线的解析式为y1=x2+2x-3；
（2）令y₁=0，得x²+2x-3=0，
解这个方程，得x₁=-3，x₂=1，
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（-3，0）；
（3）当x＜-3或x＞0，y₂＜y₁．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），再把抛物线上三个点的坐标代入得到a、b、c的三元一次方程组，解方程组可确定二次函数的解析式．也考查了抛物线与x轴的交点坐标以及二次函数与不等式．