Question

5．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB₁C₁的位置，点B、O分别落在点B₁、C₁处，点B₁在x轴上，再将△AB₁C₁绕点B₁顺时针旋转到△A₁B₁C₂的位置，点C₂在x轴上，将△A₁B₁C₂绕点C₂顺时针旋转到△A₂B₂C₂的位置，点A₂在x轴上，依次进行下去…．若点A（$\frac{5}{3}$，0），B（0，4），则点B₂₀₁₆的横坐标为（10080，4）．

Answer 1

分析 根据图形和旋转规律可得出B_n点坐标的变换规律，结合三角形的周长，即可得出结论．

解答 解：在直角三角形OAB中，OA=$\frac{5}{3}$，OB=4，
由勾股定理可得：AB=$\frac{13}{3}$，
△OAB的周长为：OA+OB+AB=$\frac{5}{3}$+4+$\frac{13}{3}$=10，
研究三角形旋转可知，当n为偶数时B_n在最高点，当n为奇数时B_n在x轴上，横坐标规律为：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-1}{2}×10+6，（n为奇数）}\\{\frac{n}{2}×10，（n为偶数）}\end{array}\right.$，
∵2016为偶数，
∴B₂₀₁₆（$\frac{2016}{2}$×10，4）．
故答案为：（10080，4）．

点评 本题考查的坐标与图形的变换，解题的关键是在变换中找到规律，结合图形得出结论．