题目内容
在△ABC中，D为AC的中点，将△ABD绕点D顺时针旋转α°（0＜α＜360）得到△DEF，连接BE、CF．（1）如图，若△ABC为等边三角形，BE与CF有何数量关系？证明你的结论﹔
（2）若△ABC为等边三角形，当α的值为多少时，ED∥AB？
（3）若△ABC不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立．（不必证明，不再添加其它的字母和线段）
【答案】分析：（1）BE=CF，理由为：由BD为等边三角形ABC的中线，利用三线合一得到BD垂直于AC，得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，再由旋转的性质及D为中点得到DE=DC，BD=FD，利用SAS得出三角形EBD与三角形CDF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠A=60°，利用平行线的判定即可得出旋转角α的度数；
（3）若△ABC不是等边三角形时，（1）中结论不成立，需添加的条件为AB=BC，证明方法同（1）．
解答：解：（1）BE=CF，理由为：
证明：∵BD为等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，即∠BDA=∠BDC=90°，
∵∠EDA=∠FDB，
∴∠EDA+∠BDA=∠FDB+∠BDC，即∠EDB=∠CDF，
由旋转的性质得到DE=DA=DC，BD=FD，
∵在△EDB和△CDF中，
，
∴△EDB≌△CDF（SAS），
∴BE=CF；
（2）α=60°或240°，
当α=60°时，由△ABC为等边三角形，得到∠A=60°，
∴∠A=∠EDA=60°，
∴ED∥AB；
当α=240°时，∠A=∠EDC=60°，
∴ED∥AB；
（3）不成立，添加的条件为AB=BC，
理由为：∵AB=BC，BD为中线，
∴BD⊥AC，即∠BDC=∠BDA=90°，DA=DC，
∵∠EDA=∠FDB，
∴∠EDA+∠BDA=∠FDB+∠BDC，即∠EDB=∠CDF，
由旋转的性质得到BD=FD，DA=DC=DE，
∵在△EDB和△CDF中，
，
∴△EDB≌△CDF（SAS），
∴BE=CF．
点评：此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
（2）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠A=60°，利用平行线的判定即可得出旋转角α的度数；
（3）若△ABC不是等边三角形时，（1）中结论不成立，需添加的条件为AB=BC，证明方法同（1）．
解答：解：（1）BE=CF，理由为：
证明：∵BD为等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，即∠BDA=∠BDC=90°，
∵∠EDA=∠FDB，
∴∠EDA+∠BDA=∠FDB+∠BDC，即∠EDB=∠CDF，
由旋转的性质得到DE=DA=DC，BD=FD，
∵在△EDB和△CDF中，
，∴△EDB≌△CDF（SAS），
∴BE=CF；
（2）α=60°或240°，
当α=60°时，由△ABC为等边三角形，得到∠A=60°，
∴∠A=∠EDA=60°，
∴ED∥AB；
当α=240°时，∠A=∠EDC=60°，
∴ED∥AB；
（3）不成立，添加的条件为AB=BC，
理由为：∵AB=BC，BD为中线，
∴BD⊥AC，即∠BDC=∠BDA=90°，DA=DC，
∵∠EDA=∠FDB，
∴∠EDA+∠BDA=∠FDB+∠BDC，即∠EDB=∠CDF，
由旋转的性质得到BD=FD，DA=DC=DE，
∵在△EDB和△CDF中，
，∴△EDB≌△CDF（SAS），
∴BE=CF．
点评：此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
练习册系列答案
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