Question

如图，已知△ABC中，点D是BA上一点，BD=AC，E，F分别是BC，DA的中点，EF和CA的延长线相交于点G．求证：AG=AF．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长BA至H，使AH=BD，然后求出EF是△BCH的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥CH，根据两直线平行，内错角相等可得∠ACH=∠AGF，∠H=∠AFG，再求出AC=AH，根据等边对等角可得∠H=∠ACH，等量代换即可得到∠AGF=∠AFG，最后利用等角对等边证明即可．

解答：证明：如图，延长BA至H，使AH=BD．
∵BD=AH、DF=FA，
∴BD+DF=FA+AH，
即BF=FH，
又∵点E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴EF是△BCH中过BC、BH的中位线，
∴EF∥CH，
∴∠ACH=∠AGF，∠H=∠AFG，
∵BD=AC，AH=BD，
∴AC=AH，
∴∠H=∠ACH，
∴∠AGF=∠AFG，
∴AG=AF．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定，平行线的性质，难点在于作辅助线构造出EF为中位线的三角形和以点A为顶点的等腰三角形．