Question

△ABC中，AO平分∠BAC，BD⊥AD，交AO延长线于点D，E为BC中点，求证：DE=

1

2

（AB-AC）．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长AC、BD交于点F，可以证得△ABF是等腰三角形，则DE是△BCF的中位线，依据三角形中位线定理即可证得．

解答：证明：延长AC、BD交于点F，如图，

∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠FAD，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ADF=90°
∵在△ABD和△AFD中，

∠BAD=∠FAD AD=AD ∠ADB=∠ADF

，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴AB=AF，BD=DF，
又∵E是BC的中点，即ED是△BCF中位线，
∴DE=

1

2

CF=

1

2

（AF-AC）=

1

2

（AB-AC）．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，以及等腰三角形的性质，正确证得DE是△BCF中位线是关键．