Question

8．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径为圆上一动点，连接CE，点P为CE的中点，连接BP，若AC=a，BD=b，则BP的最大值为（　　）

• A． $\frac{a}{2}$+1
• B． $\frac{b}{2}$+1
• C． $\frac{a+b}{2}$
• D． $\frac{a+b}{2}$+1

Answer 1

分析 连接OP，根据平行四边形对角线互相平分知AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a、BO=DO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$b，由点P为CE中点得知随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，据此解答可得．

解答 解：如图，连接OP，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$b，
∵点P为CE中点，
∴OP∥AE，且OP=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，
则当⊙O与OD交于点P时，BP最大，为BO+OP=$\frac{b}{2}$+1，
故选：B．

点评 本题主要考查圆的综合问题，掌握平行四边形的性质、中位线定理及点的运动轨迹问题是解题的关键．