Question

18．已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴上的一个动点，则当|PB-PC|达到最大值时，点P的坐标为（1，-6）．

Answer 1

分析 计算自变量为0时的函数值可得到C（0，-3），通过解方程x²-2x-3=0可得到A（-1，0），B（3，0），则抛物线的对称轴为直线x=1，如图，连接PA，则PA=PB，根据三角形三边的关系得|PB-PC|=|PA-PC|≤AC（当点A、C、P共线时取等号），延长AC交直线x=-1于点P′，即P′点为所求，如图，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而可得P′点坐标．

解答 解：当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则C（0，-3），
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=-3，则A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
如图，连接PA，则PA=PB，
∴|PB-PC|=|PA-PC|≤AC（当点A、C、P共线时取等号），
延长AC交直线x=-1于点P′，如图，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（-1，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-3x-3，
当x=1时，y=-3x-3=-6，即P′（1，-6），
∴当|PB-PC|达到最大值时，点P的坐标为（1，-6）．
故答案为（1，-6）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题．利用对称和三角形三边的关系解决了最短路径问题．