Question

17． 如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA=1，与一次函数y=-x-1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式求得点B坐标，由顶点A坐标设抛物线的顶点式，将点B坐标代入求解可得；
（2）令DF=W，根据DF=DE-EF可得W关于x的解析式，配方后根据x的范围可得最值情况．

解答 解：（1）∵OA=1，
∴抛物线的顶点A的坐标为（1，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²，
在直线y=-x-1中，当x=0时，y=-1，
则点B（0，-1），代入得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）²=-x²+2x-1．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}+2x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
即点B（0，-1）、点C（3，-4），
∴0＜x＜3，
令DF=W，
则W=-（-x-1）-[-（-x²+2x-1）]=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，W_最大值=$\frac{9}{4}$，
即线段DF的最大值$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查待定系数求二次函数解析式、一次函数和二次函数图象上点的坐标特征及直线与抛物线相交问题，熟练掌握待定系数求函数解析式是解题的关键．