Question

如图，AB为⊙O的直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，DE=EC，过点B的⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，过点E作EG⊥BC，垂足为点G，延长CE与AD相交于点H．

（1）请你探究DC与BF的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：EH为△ADE的中线；
（3）若EH=EC，DF=9，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先求出∠AED=∠ABF，利用平行线的判定即可得出结论，
（2）利用在直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半求解即可．
（3）过点D作BF的垂线，垂足为K，先由（2）得出△DHE为等边三角形，再利用含30°的直角三角形求出BD，AB，即可求出⊙O的半径．

解答：解：（1）DC∥BF
∵在⊙O中，AB是直径，CD是弦，DE=CE，
∴AB⊥CD，
∵BF切⊙O于点B，
∴AB⊥BF，
∴∠AED=∠ABF=90°，
∴DC∥BF，
（2）∵HG⊥BC，
∴∠EGC=90°=∠BEC，
∴∠C+∠CEG=90°，∠CEG+∠BEG=90°，
∴∠BEG=∠C，
∵∠BEG+∠CEG=90°
∴∠BEG=∠C，
∵∠BEG=∠HEA，∠A=∠C，
∴∠A=∠HEA，
同理可证∠ADE=90°-∠A，∠HED=90°-∠HEA，
∴∠HDE=∠HED，
∴AH=HE=HD，即EH是△ADE的中线，
（3）如图，过点D作BF的垂线，垂足为K，

由（2）可知，DH=HE=EC=DE，
∴△DHE为等边三角形，
∴∠ADE=60°=∠F，
∴∠FDK=30°，
∴FK=

1

2

DF=

9

2

，
在RT△DKF中，DK=

DF2-FK2

=

92-( 9 2 )2

=

9 3

2

，
∵∠DEB=∠EBK=∠BKD=90°，
∴四边形DEBK为矩形，
∴DK=BE=

9 3

2

，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=∠BDE=90°-60°=30°，
在RT△DBE中，BD=2BE=9

3

，
在RT△ABD中，AB=2BD=18

3

，
∴OA=9

3

．
∴⊙O的半径为9

3

．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用含30°的直角三角形的边角关系．