Question

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点．其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上，且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧$\widehat{DE}$上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5．
（1）求⊙M的半径．
（2）求该抛物线的表达式．
（3）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标．
（4）在抛物线上是否存在点Q，使△QAD的面积等于△BAD的面积？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△AOB∽△ABD，得到$\frac{AO}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，求出AD的长即可解决问题；
（2）首先根据圆的轴对称性求出点D的坐标，将A、B、D三点代入，即可求出本题的答案；
（3）由于点E与点B 关于x轴对称，所以，连接BF，直线BF与x轴的交点，即为点P，据此即可得解；
（4）①根据对称性Q与C重合时，△AQD与△ADB的面积相等，此时Q₁（3，-2）．
②过E作x轴的平行线与抛物线交于点Q₂，Q₃，此时△Q₂AD、△Q₃AD与△ADB面积相等，列出方程求解即可．

解答 解：（1）连接BD，
∵AD是⊙M的直径，∴∠ABD=90°
∴△AOB∽△ABD，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，
在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{AD}$，
∴AD=5，
∴⊙M的半径为$\frac{5}{2}$．

（2）由（1）可知：DO=AD-AO=5-1=4，
∴D（4，0），
把点A（-1，0）、B（0，-2）、D（4，0）代入y=ax²+bx+c可得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线表达式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；

（3）连接FM，

在Rt△FHM中，FM=$\frac{5}{2}$，FH=$\frac{3}{2}$，
∴MH=$\sqrt{F{M}^{2}-F{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=2，
OM=AM-OA=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
∴OH=OM+MH=$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$，
∴F（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设直线BF的解析式为y=kx+b，
则：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴直线BF的解析式为：y=x-2，
连接BF交x轴于点P，∵点E与点B关于x轴对称，
∴点P即为所求，
当y=0时，x=2，
∴P（2，0）；

（4）如图2中，

①根据对称性Q与C重合时，△AQD与△ADB的面积相等，此时Q₁（3，-2）．
②过E作x轴的平行线与抛物线交于点Q₂，Q₃，此时△Q₂AD、△Q₃AD与△ADB面积相等，
当y=2时，2=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，解得x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，
∴Q₂（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，2），Q₃（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，2），
综上所述，满足条件的点P坐标为（3，-2）或（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，2）或（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，2）．

点评 本题主要考查了二次函数的抛物线的解析式的求法，以及根据对称求线段的最小值的问题，还考查了等腰三角形的知识和相似三角形的知识，是一道综合性很强的题目，属于中考压轴题．