Question

8．阅读材料：
例：说明代数式 $\sqrt{{x^2}+1}+\sqrt{{{（x-3）}^2}+4}$的几何意义，并求它的最小值．
解：$\sqrt{{x^2}+1}+\sqrt{{{（x-3）}^2}+4}=\sqrt{{{（x-0）}^2}+{1^2}}+\sqrt{{{（x-3）}^2}+{2^2}}$，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则$\sqrt{{{（x-0）}^2}+{1^2}}$可以看成点P与点A（0，1）的距离，$\sqrt{{{（x-3）}^2}+{2^2}}$可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3$\sqrt{2}$，即原式的最小值为3$\sqrt{2}$．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式$\sqrt{{{（x-1）}^2}+1}+\sqrt{{{（x-2）}^2}+9}$的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式 $\sqrt{{x^2}+36}+\sqrt{{x^2}-12x+40}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）先把原式化为$\sqrt{（x-1）^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+{3}^{2}}$的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；
（2）先把原式化为$\sqrt{{（x-0）}^{2}+{6}^{2}}$+$\sqrt{（x-6）^{2}+{2}^{2}}$的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，6）、点B（6，2）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．

解答 解：（1）∵原式化为$\sqrt{（x-1）^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+{3}^{2}}$的形式，
∴代数式$\sqrt{{{（x-1）}^2}+1}+\sqrt{{{（x-2）}^2}+9}$的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B （2，3）或（2，-3）的距离之和，
故答案为（2，3），（2，-3）；

（2）∵原式$\sqrt{（x-0）^{2}+{6}^{2}}$+$\sqrt{（x-6）^{2}+{2}^{2}}$的化为的形式
，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，6）、点B（6，2）的距离之和，
如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，
∵A（0，6），B（6，2）
∴A′（0，-6），A′C=6，BC=8，
∴A′B=$\sqrt{A′{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
故答案为：10．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．