Question

已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0。
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y= mx²-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围。

Answer 1

解：（1）分两种情况讨论： ①当m=0 时，方程为x-2=0， ∴x=2 方程有实数根； ②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 △=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0 不论m为何实数，△≥0成立， ∴方程恒有实数根综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；
（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标， 则有x1+x2=，x1·x2= 由| x1-x2|====， 由| x1-x2|=2得=2， ∴=2或=-2 ∴m=1或m= ∴所求抛物线的解析式为：y1=x2-2x或y2=-x2+2x- 即y1= x（x-2）或y2=-（x-2）（x-4） 其图象如右图所示；
（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围， 当y1=y时，得x2-3x-b=0，△=9+4b=0，解得b=-； 同理，可得△=9-4（8+3b）=0，得b=-， 观察函数图象可知当b<-或b>-时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点， 由 当y1=y2时，有x=2或x=1 当x=1时，y=-1， 所以过两抛物线交点（1，-1），（2，0）的直线y=x-2， 综上所述可知：当b<-或b>-或b=-2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点。